Непрерывность квантовой взаимной информации

Для матриц плотности $\rho_{AB},\sigma_{AB}$ с

$$\tfrac12\|\rho_{AB}-\sigma_{AB}\|_1\le\varepsilon\in[0,1]$$

докажите

$$\begin{aligned}&|I(A;B)_\rho-I(A;B)_\sigma|\\\le{}&3\varepsilon\log_2d_A+2g_2(\varepsilon).\end{aligned}$$

Здесь $d_A=\dim\mathcal H_A$. Можно также использовать $|H(A)_\rho-H(A)_\sigma|\le\varepsilon\log_2d_A+g_2(\varepsilon)$; следовое расстояние локальных состояний не больше исходного.

Все логарифмы имеют основание 2. Энтропия $H(A)=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)$ вычисляется по редуцированной матрице плотности; нулевые собственные значения дают 0.

Условная энтропия $H(A|B)=H(AB)-H(B)$.

Взаимная информация $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$.

Определены

$$h_2(t)=-t\log_2t-(1-t)\log_2(1-t),$$

$$g_2(\varepsilon)=(1+\varepsilon)h_2\!\left(\frac\varepsilon{1+\varepsilon}\right).$$

При $t=0,1$ используются непрерывные пределы. Можно использовать оценку непрерывности условной энтропии

$$\begin{aligned}&|H(A|B)_\rho-H(A|B)_\sigma|\\\le{}&2\varepsilon\log_2d_A+g_2(\varepsilon).\end{aligned}$$