Вращённое восстановление Петца не увеличивает след

Пусть $\sigma\ge0$, $\mathcal N$ — квантовый канал и $K=\mathcal N(\sigma)$. Отображение Петца определено как

$$\mathcal P(Q)=\sigma^{1/2}\mathcal N^\dagger(K^{-1/2}QK^{-1/2})\sigma^{1/2}.$$

Для вещественного $t$ положим $\mathcal U_{\tau,t}(M)=\tau^{it}M\tau^{-it}$ и $\mathcal R^t=\mathcal U_{\sigma,-t}\circ\mathcal P\circ\mathcal U_{K,t}$. Степени и обратные операторы вычисляются на ненулевом спектре и равны 0 на ядре. Проверьте для любого положительного $Q$ на выходном пространстве канала:

$$\operatorname{Tr}\mathcal R^t(Q)=\operatorname{Tr}(\Pi_KQ)\le\operatorname{Tr}Q,$$

где $\Pi_K$ — проектор на опору $K$. Сопряжённое отображение $\mathcal N^\dagger$ определяется скалярным произведением Гильберта—Шмидта: $\operatorname{Tr}[M^\dagger\mathcal N^\dagger(Q)]=\operatorname{Tr}[\mathcal N(M)^\dagger Q]$.