Взвешенное сопряжение однозначно определяет восстановление Петца

Для положительного $\omega$ определим взвешенное скалярное произведение операторов на его опоре:

$$\langle A,B\rangle_\omega=\operatorname{Tr}(A^\dagger\omega^{1/2}B\omega^{1/2}).$$

Пусть $\sigma\ge0$, $\mathcal N$ — квантовый канал, $K=\mathcal N(\sigma)$. Сопряжённое отображение Петца задано

$$T(M)=K^{-1/2}\mathcal N(\sigma^{1/2}M\sigma^{1/2})K^{-1/2}.$$

Докажите, что $T=\mathcal P_{\sigma,\mathcal N}^\dagger$ — единственное линейное отображение из операторов на опоре $\sigma$ в операторы на опоре $K$, для которого

$$\langle M,\mathcal N^\dagger(Q)\rangle_\sigma=\langle T(M),Q\rangle_K.$$

Операторы вне указанных опор можно сжать соответствующими проекторами. Обратные корни берутся только на ненулевом спектре. Подсказка: используйте матричные единицы $M=|i\rangle\langle j|$, $Q=|k\rangle\langle l|$.