Классические метки не увеличивают взаимную информацию канала

Для квантового канала $\mathcal N:A\to B$ рассмотрите состояния

$$\omega_{RB}^x=(\operatorname{id}_R\otimes\mathcal N)(\phi_{RA}^x),$$

$$\rho_{XRB}=\sum_xp_X(x)|x\rangle\langle x|_X\otimes\omega_{RB}^x,$$

где $\phi_{RA}^x$ чистые, $p_X$ — распределение, а метки $|x\rangle$ ортонормированы. Определим альтернативную величину $I_{\rm alt}(\mathcal N)=\max I(RX;B)_\rho$ по таким состояниям. Покажите $I_{\rm alt}(\mathcal N)=I(\mathcal N)$.

Энтропия $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, $0\log_2 0=0$. Взаимная информация $I(R;B)=H(R)+H(B)-H(RB)$, когерентная информация $I(R\rangle B)=H(B)-H(RB)$.

Взаимная информация канала определена как

$$\omega_{RB}=(\operatorname{id}_R\otimes\mathcal N)(\phi_{RA}),$$

$$I(\mathcal N)=\max_{\phi_{RA}}I(R;B)_\omega,$$

где $\phi_{RA}$ — чистое состояние входа $A$ и вспомогательной системы $R$. Достаточно $\dim R=\dim A$.