Для взаимной информации канала достаточно чистых входов

Пусть $\mathcal N:A\to B$ — квантовый канал. Покажите, что при определении его взаимной информации чистых входов $\phi_{RA}$ достаточно и смешанные $\rho_{RA}$ не увеличивают максимум:

$$\begin{aligned}&\max_{\phi_{RA}}I(R;B)_{\mathcal N(\phi)}\\={}&\max_{\rho_{RA}}I(R;B)_{\mathcal N(\rho)}.\end{aligned}$$

На $R$ действует единичный канал; справочного пространства размерности $\dim A$ достаточно. Подсказка: очистите смешанный вход и примените квантовую обработку данных.

Энтропия $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, $0\log_2 0=0$. Взаимная информация $I(R;B)=H(R)+H(B)-H(RB)$, когерентная информация $I(R\rangle B)=H(B)-H(RB)$.