Когерентная информация канала через входную матрицу

Определим для входного состояния $\rho$

$$I_c(\rho,\mathcal N)=H(\mathcal N(\rho))-H(\mathcal N^c(\rho)).$$

Покажите $Q(\mathcal N)=\max_\rho I_c(\rho,\mathcal N)$. Эквивалентно, покажите равенство с максимумом $H(B)_\psi-H(E)_\psi$ по чистым $\phi_{RA}$, где $|\psi\rangle_{RBE}=(I_R\otimes U)|\phi\rangle_{RA}$ и $U$ — изометрическое расширение канала.

Энтропия $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, $0\log_2 0=0$. Взаимная информация $I(R;B)=H(R)+H(B)-H(RB)$, когерентная информация $I(R\rangle B)=H(B)-H(RB)$.

Однократная когерентная информация канала определена как

$$\omega_{RB}=(\operatorname{id}_R\otimes\mathcal N)(\phi_{RA}),$$

$$Q(\mathcal N)=\max_{\phi_{RA}}I(R\rangle B)_\omega,$$

где $\phi_{RA}$ — чистое состояние. Дополнительный канал $\mathcal N^c$ получается следом по $B$ после изометрии $U:A\to B\otimes E$, тогда как $\mathcal N$ получается следом по $E$.