Размерность типичного подпространства

Пусть $\rho=\sum_{i:p_i>0}p_i|i\rangle\langle i|$ — спектральное разложение квантового состояния, $\rho_n=\rho^{\otimes n}$, $H=-\sum_i p_i\log_2p_i$. Обозначим $p(i^n)=\prod_{j=1}^np_{i_j}$ и $|i^n\rangle=\bigotimes_j|i_j\rangle$.

Слабое типичное множество $T_\delta$ состоит из последовательностей, для которых $|-(1/n)\log_2p(i^n)-H|\le\delta$. Сильное типичное множество задаётся $|N(i|i^n)/n-p_i|\le\delta$ для каждого $i$; символы с нулевой вероятностью исключены. Можно использовать любой из этих вариантов. Положим $c=1$ в слабом случае и $c=\sum_{i:p_i>0}|\log_2p_i|$ в сильном.

Типичный проектор и усечённый оператор:

$$\Pi=\sum_{i^n\in T_\delta}|i^n\rangle\langle i^n|,$$

$$\widetilde\rho_n=\Pi\rho_n\Pi.$$

Все логарифмы по основанию 2, $\delta>0$.

Сначала докажите $\dim T=\operatorname{Tr}\Pi$, где $T$ — образ $\Pi$. Затем установите

$$\operatorname{Tr}\Pi\le2^{n(H+c\delta)}$$

и для любых $\varepsilon\in(0,1)$ и достаточно большого $n$

$$\operatorname{Tr}\Pi\ge(1-\varepsilon)2^{n(H-c\delta)}.$$