Типичное измерение почти не меняет состояние

Пусть $\rho=\sum_{i:p_i>0}p_i|i\rangle\langle i|$ — спектральное разложение квантового состояния, $\rho_n=\rho^{\otimes n}$, $H=-\sum_i p_i\log_2p_i$. Обозначим $p(i^n)=\prod_{j=1}^np_{i_j}$ и $|i^n\rangle=\bigotimes_j|i_j\rangle$.

Слабое типичное множество $T_\delta$ состоит из последовательностей, для которых $|-(1/n)\log_2p(i^n)-H|\le\delta$. Положим $\Pi=\sum_{i^n\in T_\delta}|i^n\rangle\langle i^n|$ и $\widetilde\rho_n=\Pi\rho_n\Pi$. Для любого $\varepsilon\in(0,1)$ и достаточно большого $n$ выполнено $t=\operatorname{Tr}(\widetilde\rho_n)\ge1-\varepsilon$. Все логарифмы по основанию 2.

Докажите $\|\rho_n-\widetilde\rho_n\|_1\le2\sqrt\varepsilon$. Затем покажите, что нормированное состояние $\widehat\rho_n=\widetilde\rho_n/t$ также находится от $\widetilde\rho_n$ на расстоянии не больше $2\sqrt\varepsilon$ в норме $\|A\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{A^\dagger A}$.

Можно использовать две формы леммы о щадящем измерении: если $0\le\Lambda\le I$ и $\operatorname{Tr}(\Lambda\rho)\ge1-\varepsilon$, то и $\|\rho-\sqrt\Lambda\rho\sqrt\Lambda\|_1$, и $\|\rho-\sqrt\Lambda\rho\sqrt\Lambda/\operatorname{Tr}(\Lambda\rho)\|_1$ не превосходят $2\sqrt\varepsilon$.