Ранг и наибольшее собственное значение типичного состояния

Пусть $\rho=\sum_{i:p_i>0}p_i|i\rangle\langle i|$ — спектральное разложение квантового состояния, $\rho_n=\rho^{\otimes n}$, $H=-\sum_i p_i\log_2p_i$. Обозначим $p(i^n)=\prod_{j=1}^np_{i_j}$ и $|i^n\rangle=\bigotimes_j|i_j\rangle$.

Слабое типичное множество $T_\delta$ состоит из последовательностей, для которых $|-(1/n)\log_2p(i^n)-H|\le\delta$. Положим $\Pi=\sum_{i^n\in T_\delta}|i^n\rangle\langle i^n|$ и $\widetilde\rho_n=\Pi\rho_n\Pi$. Для любого $\varepsilon\in(0,1)$ и достаточно большого $n$ выполнено $t=\operatorname{Tr}(\widetilde\rho_n)\ge1-\varepsilon$. Все логарифмы по основанию 2.

Докажите при достаточно большом $n$:

$$\operatorname{rank}\widetilde\rho_n\ge(1-\varepsilon)2^{n(H-\delta)},$$

$$\operatorname{rank}\widetilde\rho_n\le2^{n(H+\delta)},$$

$$2^{-n(H+\delta)}\le\|\widetilde\rho_n\|_\infty,$$

$$\|\widetilde\rho_n\|_\infty\le2^{-n(H-\delta)}.$$

Ранг равен размерности носителя, а норма $\|\cdot\|_\infty$ положительного оператора — его наибольшему собственному значению.