Три свойства условно типичного подпространства

Рассмотрим конечный ансамбль квантовых состояний $\{p(x),\rho_x\}$ и спектральные разложения $\rho_x=\sum_yq(y|x)|y_x\rangle\langle y_x|$. Положим $h=\sum_xp(x)H(\rho_x)$, $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$.

Для слова $x^n$ определим $\rho_{x^n}=\bigotimes_j\rho_{x_j}$, $q(y^n|x^n)=\prod_jq(y_j|x_j)$ и $|y_{x^n}\rangle=\bigotimes_j|y_{j,x_j}\rangle$. Слабый условно типичный проектор $\Pi_{x^n}$ есть сумма $|y_{x^n}\rangle\langle y_{x^n}|$ по словам, удовлетворяющим $|-(1/n)\log_2q(y^n|x^n)-h|\le\delta$. Случайное слово $X^n$ имеет распределение $p^{\otimes n}$.

Докажите следующие свойства. Вероятностная оценка и нижняя оценка средней размерности должны выполняться для любого $\varepsilon\in(0,1)$ при достаточно большом $n$; остальные оценки — для каждого $x^n$:

$$\mathbb E\operatorname{Tr}(\Pi_{X^n}\rho_{X^n})\ge1-\varepsilon,$$

$$\operatorname{Tr}\Pi_{x^n}\le2^{n(h+\delta)},$$

$$\mathbb E\operatorname{Tr}\Pi_{X^n}\ge(1-\varepsilon)2^{n(h-\delta)},$$

$$2^{-n(h+\delta)}\Pi_{x^n}\le\Pi_{x^n}\rho_{x^n}\Pi_{x^n},$$

$$\Pi_{x^n}\rho_{x^n}\Pi_{x^n}\le2^{-n(h-\delta)}\Pi_{x^n}.$$