Размерность сильного условно типичного подпространства

Дан конечный ансамбль $\{p(x),\rho_x\}$ состояний размерности $d$, $k=|\mathcal X|$, $h=\sum_xp(x)H(\rho_x)$. В слове $x^n$ обозначим $I_x=\{j:x_j=x\}$ и $N_x=|I_x|$. Пусть $|N_x/n-p(x)|\le\delta'$, а все $N_x$ для $p(x)>0$ достаточно велики. Символы нулевой вероятности не встречаются.

Сильный условно типичный проектор — тензорное произведение обычных типичных проекторов для $\rho_x^{\otimes N_x}$ на группах $I_x$; порядок систем восстанавливается перестановкой. Обозначим его $\Pi$, а $\rho_{x^n}=\bigotimes_j\rho_{x_j}$. Из свойств типичных проекторов уже известны $\operatorname{Tr}(\Pi\rho_{x^n})\ge1-\varepsilon$ и

$$2^{-n(h+\eta)}\Pi\le\Pi\rho_{x^n}\Pi,$$

$$\Pi\rho_{x^n}\Pi\le2^{-n(h-\eta)}\Pi,$$

где $\eta=\delta'k\log_2d+c\delta+kc\delta\delta'$, а $c\delta$ — общая верхняя граница погрешности удельной спектральной энтропии в каждом блоке. Докажите

$$\operatorname{Tr}\Pi\le2^{n(h+\eta)},$$

$$\operatorname{Tr}\Pi\ge(1-\varepsilon)2^{n(h-\eta)}.$$