Большинство случайных квантовых кодов надёжны

Дан конечный ансамбль квантовых состояний $\{p(x),\sigma_x\}$, $\sigma=\sum_xp(x)\sigma_x$. Для передачи $M$ равновероятных сообщений независимо выбирают $C_1,\ldots,C_M$ по распределению $p$. При сообщении $m$ посылают $\sigma_{C_m}$. Декодирующее измерение имеет операторы $\Lambda_m\ge0$; недостающий до единицы оператор означает неудачу. Ошибки:

$$e_m=1-\operatorname{Tr}(\Lambda_m\sigma_{C_m}),$$

$$\bar e=\frac1M\sum_{m=1}^Me_m.$$

Даны ортогональные проекторы $P,P_x$, числа $0<\varepsilon<1$ и $0<d<D$ с условиями

$$\operatorname{Tr}(P\sigma_x)\ge1-\varepsilon,$$

$$\operatorname{Tr}(P_x\sigma_x)\ge1-\varepsilon,$$

$$\operatorname{Tr}P_x\le d, P\sigma P\le P/D.$$ Из леммы об упаковке уже известно $\mathbb E_{\mathcal C}\bar e\le\varepsilon'$, где

$$\varepsilon'=2(\varepsilon+2\sqrt\varepsilon)+4Md/D.$$

Предположим $0<\varepsilon'<1$. Примените неравенство Маркова и докажите, что доля кодов с $\bar e<\sqrt{\varepsilon'}$ не меньше $1-\sqrt{\varepsilon'}$.