Упаковка при усреднённых условиях

Дан конечный ансамбль квантовых состояний $\{p(x),\sigma_x\}$, $\sigma=\sum_xp(x)\sigma_x$. Для передачи $M$ равновероятных сообщений независимо выбирают $C_1,\ldots,C_M$ по распределению $p$. При сообщении $m$ посылают $\sigma_{C_m}$. Декодирующее измерение имеет операторы $\Lambda_m\ge0$; недостающий до единицы оператор означает неудачу. Ошибки:

$$e_m=1-\operatorname{Tr}(\Lambda_m\sigma_{C_m}),$$

$$\bar e=\frac1M\sum_{m=1}^Me_m.$$

Даны ортогональные проекторы $P,P_x$, числа $0<\varepsilon<1$ и $0<d<D$. Теперь близость к подпространствам требуется только в среднем:

$$\sum_xp(x)\operatorname{Tr}(P\sigma_x)\ge1-\varepsilon,$$

$$\sum_xp(x)\operatorname{Tr}(P_x\sigma_x)\ge1-\varepsilon,$$

$$\operatorname{Tr}P_x\le d, P\sigma P\le P/D.$$

Покажите, что лемма об упаковке по-прежнему даёт измерение с

$$\mathbb E\bar e\le2(\varepsilon+2\sqrt\varepsilon)+4Md/D.$$

Используйте измерение с квадратным корнем: $A_m=PP_{C_m}P$, $S=\sum_mA_m$, $\Lambda_m=S^{-1/2}A_mS^{-1/2}$; обратная степень берётся на носителе $S$. Покажите также существование кода из $L$ сообщений с максимальной ошибкой не больше

$$4(\varepsilon+2\sqrt\varepsilon)+16Ld/D.$$