Измерение с квадратным корнем без общего проектора

Дан конечный ансамбль квантовых состояний $\{p(x),\sigma_x\}$, $\sigma=\sum_xp(x)\sigma_x$. Для передачи $M$ равновероятных сообщений независимо выбирают $C_1,\ldots,C_M$ по распределению $p$. При сообщении $m$ посылают $\sigma_{C_m}$. Декодирующее измерение имеет операторы $\Lambda_m\ge0$; недостающий до единицы оператор означает неудачу. Ошибки:

$$e_m=1-\operatorname{Tr}(\Lambda_m\sigma_{C_m}),$$

$$\bar e=\frac1M\sum_{m=1}^Me_m.$$

Даны ортогональные проекторы $P,P_x$, числа $0<\varepsilon<1$ и $0<d<D$ с условиями

$$\operatorname{Tr}(P\sigma_x)\ge1-\varepsilon,$$

$$\operatorname{Tr}(P_x\sigma_x)\ge1-\varepsilon,$$

$$\operatorname{Tr}P_x\le d, P\sigma P\le P/D.$$

Покажите, что надёжная упаковка возможна без окружения каждого оператора проектором $P$. Вместо этого используйте

$$S=\sum_{j=1}^MP_{C_j},$$

$$\Lambda_m=S^{-1/2}P_{C_m}S^{-1/2}.$$

Обратная степень действует на носителе $S$; дополните измерение исходом неудачи. Требуется получить верхнюю оценку $\mathbb E\bar e$, стремящуюся к нулю при $\varepsilon\to0$ и $Md/D\to0$.