Последовательный декодер без начальной проекции

Дан конечный ансамбль квантовых состояний $\{p(x),\sigma_x\}$, $\sigma=\sum_xp(x)\sigma_x$. Для передачи $M$ равновероятных сообщений независимо выбирают $C_1,\ldots,C_M$ по распределению $p$. При сообщении $m$ посылают $\sigma_{C_m}$. Декодирующее измерение имеет операторы $\Lambda_m\ge0$; недостающий до единицы оператор означает неудачу. Ошибки:

$$e_m=1-\operatorname{Tr}(\Lambda_m\sigma_{C_m}),$$

$$\bar e=\frac1M\sum_{m=1}^Me_m.$$

Даны ортогональные проекторы $P,P_x$, числа $0<\varepsilon<1$ и $0<d<D$ с условиями

$$\operatorname{Tr}(P\sigma_x)\ge1-\varepsilon,$$

$$\operatorname{Tr}(P_x\sigma_x)\ge1-\varepsilon,$$

$$\operatorname{Tr}P_x\le d, P\sigma P\le P/D.$$

Приёмник последовательно измеряет $\{P_{C_1},I-P_{C_1}\}$, затем $\{P_{C_2},I-P_{C_2}\}$ и так далее, останавливаясь на первом ответе «да». Начального измерения $\{P,I-P\}$ нет. Положим $Q_j=I-P_{C_j}$,

$$K_m=P_{C_m}Q_{m-1}\cdots Q_1.$$

Вероятность правильного ответа для сообщения $m$ равна $\operatorname{Tr}(K_m\sigma_{C_m}K_m^\dagger)$. Докажите, что средняя по случайным кодам ошибка стремится к нулю при $\varepsilon\to0$ и $Md/D\to0$. Можно использовать некоммутативную границу объединения событий:

$$\operatorname{Tr}\omega-\operatorname{Tr}(L\omega L^\dagger)\le2\sqrt{\sum_j\operatorname{Tr}[(I-R_j)\omega]},$$

где $L=R_\ell\cdots R_1$, $R_j$ — проекторы, $\omega\ge0$, $\operatorname{Tr}\omega\le1$.