Последовательное декодирование при усреднённых условиях

Дан конечный ансамбль квантовых состояний $\{p(x),\sigma_x\}$, $\sigma=\sum_xp(x)\sigma_x$. Для передачи $M$ равновероятных сообщений независимо выбирают $C_1,\ldots,C_M$ по распределению $p$. При сообщении $m$ посылают $\sigma_{C_m}$. Декодирующее измерение имеет операторы $\Lambda_m\ge0$; недостающий до единицы оператор означает неудачу. Ошибки:

$$e_m=1-\operatorname{Tr}(\Lambda_m\sigma_{C_m}),$$

$$\bar e=\frac1M\sum_{m=1}^Me_m.$$

Даны ортогональные проекторы $P,P_x$, числа $0<\varepsilon<1$ и $0<d<D$. Теперь близость к подпространствам требуется только в среднем:

$$\sum_xp(x)\operatorname{Tr}(P\sigma_x)\ge1-\varepsilon,$$

$$\sum_xp(x)\operatorname{Tr}(P_x\sigma_x)\ge1-\varepsilon,$$

$$\operatorname{Tr}P_x\le d, P\sigma P\le P/D.$$

Приёмник сначала выполняет измерение $\{P,I-P\}$, затем последовательно проверяет кодовые проекторы $P_{C_1},\ldots,P_{C_M}$ до первого ответа «да». Если начальная проверка не пройдена или все последующие ответы отрицательны, это ошибка. Докажите ту же оценку, что при поточечных условиях:

$$\mathbb E\bar e\le\varepsilon+2\sqrt{\varepsilon+2\sqrt\varepsilon+Md/D}.$$

Можно использовать некоммутативную границу: для $\omega\ge0$, $\operatorname{Tr}\omega\le1$, проекторов $R_j$ и $L=R_\ell\cdots R_1$

$$\operatorname{Tr}\omega-\operatorname{Tr}(L\omega L^\dagger)\le2\sqrt{\sum_j\operatorname{Tr}[(I-R_j)\omega]}.$$