Существует конкретный хороший покрывающий код

Пусть $\{p(x),\sigma_x\}$ — конечный ансамбль квантовых состояний, $\sigma=\sum_xp(x)\sigma_x$. Независимо выберите $C_1,\ldots,C_M$ с распределением $p$ и определите

$$\overline\sigma_{\mathcal C}=\frac1M\sum_{m=1}^M\sigma_{C_m},$$

$$o(\mathcal C)=\|\overline\sigma_{\mathcal C}-\sigma\|_1.$$

Это ошибка воспроизведения среднего состояния равномерной смесью выбранных слов. Норма $\|A\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{A^\dagger A}$. Даны проекторы $P,P_x$ и числа $0<\varepsilon<1$, $0<d<D$. Предположим для каждого $x$

$$\operatorname{Tr}(P\sigma_x)\ge1-\varepsilon,$$

$$\operatorname{Tr}(P_x\sigma_x)\ge1-\varepsilon,$$

$$\operatorname{Tr}P\le D, P_x\sigma_xP_x\le P_x/d.$$

Лемма о покрытии даёт

$$B_\varepsilon=\varepsilon+4\sqrt\varepsilon+24\sqrt[4]\varepsilon,$$

$$q_M=2D\exp\!\left(-\frac{\varepsilon^3Md}{4D}\right),$$

$$\Pr_{\mathcal C}\{o(\mathcal C)\le B_\varepsilon\}\ge1-q_M.$$

Докажите существование конкретного кода с малой ошибкой воспроизведения. Укажите достаточное условие на $M$, при котором $o(\mathcal C)\le B_\varepsilon$ хотя бы для одной кодовой книги.