Сохранение очищения гарантирует малую среднюю ошибку

Дан конечный ансамбль чистых состояний $\{p(x),|\psi_x\rangle_A\}$ и его среднее $\rho=\sum_xp(x)\psi_x$, где $\psi_x=|\psi_x\rangle\langle\psi_x|$. Для независимого слова $x^n$ положим $p(x^n)=\prod_jp(x_j)$ и $\psi_{x^n}=\bigotimes_j\psi_{x_j}$. Кодер $\mathcal E:A^n\to W$ и декодер $\mathcal D:W\to\widehat A^n$ — квантовые каналы; $\mathcal T=\mathcal D\circ\mathcal E$.

Энтропия $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, а $\|A\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{A^\dagger A}$.

Определим очищение $|\varphi\rangle_{RA}=\sum_x\sqrt{p(x)}|x\rangle_R|\psi_x\rangle_A$ с ортонормированными метками $|x\rangle$ и $\Phi=\varphi_{RA}^{\otimes n}$. На вспомогательной системе действует единичный канал. Покажите, что условие

$$\frac12\|\Phi-(\operatorname{id}_{R^n}\otimes\mathcal T)(\Phi)\|_1\le\varepsilon$$

влечёт

$$\frac12\sum_{x^n}p(x^n)\|\psi_{x^n}-\mathcal T(\psi_{x^n})\|_1\le\varepsilon.$$

Подсказка: примените дефазировку вспомогательного регистра в базисе меток и монотонность следовой нормы относительно квантового канала. Здесь $\varphi_{RA}=|\varphi\rangle\langle\varphi|$.