Слабый критерий не улучшает предел квантового сжатия

Дан конечный ансамбль чистых состояний $\{p(x),|\psi_x\rangle_A\}$ и его среднее $\rho=\sum_xp(x)\psi_x$, где $\psi_x=|\psi_x\rangle\langle\psi_x|$. Для независимого слова $x^n$ положим $p(x^n)=\prod_jp(x_j)$ и $\psi_{x^n}=\bigotimes_j\psi_{x_j}$. Кодер $\mathcal E:A^n\to W$ и декодер $\mathcal D:W\to\widehat A^n$ — квантовые каналы; $\mathcal T=\mathcal D\circ\mathcal E$.

Энтропия $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, а $\|A\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{A^\dagger A}$.

Предположим

$$\frac12\sum_{x^n}p(x^n)\|\psi_{x^n}-\mathcal T(\psi_{x^n})\|_1\le\varepsilon.$$

Докажите: если при $n\to\infty$ эта ошибка стремится к нулю, предельная скорость сжатия $R_n=(1/n)\log_2\dim W$ не может быть меньше $H(\rho)$. Вспомогательный регистр следует взять классическим: $\omega_{X^nA^n}=\sum_{x^n}p(x^n)|x^n\rangle\langle x^n|\otimes\psi_{x^n}$.

Можно использовать обработку данных для взаимной информации $I(X;B)=H(X)+H(B)-H(XB)$, границу $I(X;W)\le\log_2\dim W$ при классическом $X$ и непрерывность условной энтропии:

$$|H(X|B)_\alpha-H(X|B)_\beta|\le2\varepsilon\log_2\dim X+g_2(\varepsilon),$$

если $(1/2)\|\alpha-\beta\|_1\le\varepsilon$. Здесь $g_2(\varepsilon)=(1+\varepsilon)h_2(\varepsilon/(1+\varepsilon))$, $h_2(t)=-t\log_2t-(1-t)\log_2(1-t)$.