Ортогональные смешанные состояния достигают границы Холево

Дан ансамбль $\{p(x),\rho_x\}$ смешанных квантовых состояний с попарно ортогональными носителями: $\rho_x\rho_y=0$ при $x\ne y$. Положим $\rho=\sum_xp(x)\rho_x$. Докажите, что информация Холево равна энтропии распределения меток:

$$\chi=H(\rho)-\sum_xp(x)H(\rho_x)=H(p),$$

где $H(p)=-\sum_xp(x)\log_2p(x)$, $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$.

Объясните, почему такой ансамбль достигает нижней границы $\chi$ на скорость сжатия при слабом критерии: нужно восстановить лишь каждое условное смешанное состояние в средней следовой норме, а не его очищение с внешней системой. Для $n$ независимых выдач критерий имеет вид

$$\frac12\sum_{x^n}p(x^n)\|\rho_{x^n}-\mathcal T(\rho_{x^n})\|_1\longrightarrow0,$$

где $\rho_{x^n}=\bigotimes_j\rho_{x_j}$, $\mathcal T$ — кодирование и декодирование. Допускается обычное сжатие классической последовательности меток со скоростью $H(p)$.