Обрезка редких слов почти не меняет квантовое среднее

Рассмотрим конечный ансамбль выходных квантовых состояний $\{p(x),\sigma_x\}$ со средним $\sigma=\sum_xp(x)\sigma_x$. Для $n$ независимых выдач $p(x^n)=\prod_jp(x_j)$ и $\sigma_{x^n}=\bigotimes_j\sigma_{x_j}$. Пусть $T$ — типичное множество классических слов с вероятностью $t=\sum_{x^n\in T}p(x^n)\ge1-\varepsilon>0$. Обрезанное распределение:

$$p'(x^n)=\begin{cases}p(x^n)/t,&x^n\in T,\\0,&x^n\notin T.\end{cases}$$

Пусть $\tau_n=\sum_{x^n}p'(x^n)\sigma_{x^n}$ — среднее состояние этого ансамбля.

Докажите $\|\tau_n-\sigma^{\otimes n}\|_1\le2\varepsilon$, где $\|A\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{A^\dagger A}$.