Спектральная граница для обрезанного ансамбля

Рассмотрим конечный ансамбль выходных квантовых состояний $\{p(x),\sigma_x\}$ со средним $\sigma=\sum_xp(x)\sigma_x$. Для $n$ независимых выдач $p(x^n)=\prod_jp(x_j)$ и $\sigma_{x^n}=\bigotimes_j\sigma_{x_j}$. Пусть $T$ — типичное множество классических слов с вероятностью $t=\sum_{x^n\in T}p(x^n)\ge1-\varepsilon>0$. Обрезанное распределение:

$$p'(x^n)=\begin{cases}p(x^n)/t,&x^n\in T,\\0,&x^n\notin T.\end{cases}$$

Пусть $\tau_n=\sum_{x^n}p'(x^n)\sigma_{x^n}$ — среднее состояние этого ансамбля.

Пусть $P_n$ — типичный проектор среднего состояния $\sigma^{\otimes n}$. Уже известно свойство равнораспределённости

$$P_n\sigma^{\otimes n}P_n\le2^{-n(H(\sigma)-c'\delta)}P_n,$$

где $H(\sigma)=-\operatorname{Tr}(\sigma\log_2\sigma)$ и $c'>0$. Докажите

$$P_n\tau_nP_n\le\frac{2^{-n(H(\sigma)-c'\delta)}}{1-\varepsilon}P_n.$$

Подсказка: сначала установите $\tau_n\le\sigma^{\otimes n}/(1-\varepsilon)$.