Достижение информации Холево без общего типичного проектора

Пусть $\mathcal N:A\to B$ — квантовый канал, $\{p(x),\rho_x\}$ — конечный входной ансамбль, $\sigma_x=\mathcal N(\rho_x)$, $\sigma=\sum_xp(x)\sigma_x$. Положим $h=\sum_xp(x)H(\sigma_x)$ и $\chi=H(\sigma)-h$, где $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$.

Для передачи $M$ равновероятных сообщений кодовые слова $x^n(m)$ независимо выбирают из распределения $p^{\otimes n}$, условленного на сильную типичность. Обозначим условно типичный проектор состояния $\sigma_{x^n(m)}$ через $P_m$. Покажите, что вместо окружения каждого $P_m$ общим типичным проектором достаточно измерения

$$S=\sum_{j=1}^MP_j, \Lambda_m=S^{-1/2}P_mS^{-1/2}.$$

Обратная степень берётся на носителе $S$; недостающий исход означает неудачу. Требуется доказать достижимость любой скорости $R<\chi$, где $M\approx2^{nR}$, с исчезающей средней ошибкой.

Можно использовать свойства типичности: при подходящих проекторе $P$ и малом $\eta>0$ вероятность собственного и общего типичных подпространств не меньше $1-\varepsilon_n$, $\varepsilon_n\to0$; $\operatorname{Tr}P_m\le2^{n(h+\eta)}$; для среднего обрезанного ансамбля $\tau_n$ выполнено

$$P\tau_nP\le\frac{2^{-n(H(\sigma)-\eta)}}{1-\varepsilon_n}P.$$

Вариант леммы об упаковке без общего проектора даёт $\mathbb E\bar e\le2\varepsilon_n+6\sqrt{\varepsilon_n}+4(M-1)d_n/D_n$, если $\operatorname{Tr}P_m\le d_n$ и $P\tau_nP\le P/D_n$.