Чистых состояний достаточно для разности энтропий

Пусть $U:A'\to BE$ — изометрическое расширение квантового канала $\mathcal N=\operatorname{Tr}_E\circ U$. Для конечного ансамбля входных состояний $\{p(x),\rho_x\}$ положим

$$\omega_{XBE}=\sum_xp(x)|x\rangle\langle x|\otimes U\rho_xU^\dagger.$$

Докажите, что при максимизации $H(B)_\omega-H(E|X)_\omega$ достаточно чистых $\rho_x$. Здесь $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, а $H(E|X)_\omega=\sum_xp(x)H(\operatorname{Tr}_B U\rho_xU^\dagger)$.