Минимальная выходная энтропия достигается на чистом входе

Для конечномерного квантового канала $\mathcal N$ определим $H^{\min}(\mathcal N)=\min_\rho H(\mathcal N(\rho))$, где минимум берётся по всем входным матрицам плотности и $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$. Докажите

$$H^{\min}(\mathcal N)=\min_{|\psi\rangle}H(\mathcal N(|\psi\rangle\langle\psi|)).$$