Для деполяризующего канала достаточно обычных измерений

Дан $d$-мерный деполяризующий канал $\mathcal N_p(\rho)=(1-p)\rho+pI/d$, $0\le p\le1$. Его классическая пропускная способность известна:

$$C(\mathcal N_p)=\log_2d-H(a,b,\ldots,b),$$

где $a=1-p+p/d$, $b=p/d$, значение $b$ повторяется $d-1$ раз, $H(q)=-\sum_jq_j\log_2q_j$ и $0\log_2 0=0$.

Докажите, что эта скорость достигается без совместных измерений разных выходов: Алиса равномерно выбирает состояния ортонормированного базиса $|x\rangle$, а Боб измеряет каждый выход в том же базисе. Сначала найдите индуцированный классический канал $p(y|x)$ и его выходное распределение, затем вычислите $H(Y|X)$ и $I(X;Y)$.