Измерения Белла достигают пропускной способности с запутанностью

Алиса и Боб заранее делят максимально запутанные пары $d$-мерных систем. Пусть

$$|\Phi\rangle=\frac1{\sqrt d}\sum_{j=0}^{d-1}|j\rangle|j\rangle,$$

$$|\Phi^{x,z}\rangle=(X^xZ^z\otimes I)|\Phi\rangle,$$

где $X|j\rangle=|j+1\bmod d\rangle$, $Z|j\rangle=e^{2\pi i j/d}|j\rangle$, $x,z\in\{0,\ldots,d-1\}$. Алиса равномерно выбирает метку $(x_1,z_1)$, подготавливает соответствующий элемент базиса Белла локальным преобразованием своей половины и посылает её через канал $\mathcal N_p(\rho)=(1-p)\rho+pI/d$, $0\le p\le1$. Боб измеряет полученную половину и свою систему в базисе Белла и получает $(x_2,z_2)$.

Найдите индуцированный классический канал. Докажите, что его классическая пропускная способность равна известной пропускной способности деполяризующего канала с помощью запутанности:

$$C_E(\mathcal N_p)=2\log_2d-H(a,b,\ldots,b),$$

где $a=1-p+p/d^2$, $b=p/d^2$, значение $b$ встречается $d^2-1$ раз. Таким образом, совместные измерения разных использований канала не нужны.

Все логарифмы по основанию 2. Энтропия $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, $H(q)=-\sum_jq_j\log_2q_j$, $0\log_2 0=0$.