Когерентная обратная связь возвращает запутанность

Пусть $U:A'\to BE$ — изометрия: Алиса подаёт вход $A'$, Боб получает $B$, а среда $E$ возвращается Алисе как квантовая система. Для чистого $|\varphi\rangle_{AA'}$ положим $|\omega\rangle_{ABE}=(I_A\otimes U)|\varphi\rangle$.

Докажите достижимость

$$\langle U\rangle\ge\tfrac12I(A;B)_\omega[q\to q]$$

$$\phantom{\langle U\rangle\ge}+\tfrac12I(E;B)_\omega[qq].$$

Можно опираться на протокол передачи квантовой информации с помощью запутанности: для $\mathcal N=\operatorname{Tr}_E\circ U$ затрата $\tfrac12I(A;E)_\omega$ пар Белла позволяет передавать $\tfrac12I(A;B)_\omega$ кубитов на использование. Реализуйте кодер и декодер когерентно, сохраняя их вспомогательные системы, и учтите дополнительную доступность $E$. Разрешается асимптотическое заимствование запутанности с обязательным возвратом.

Обозначение $[q\to q]$ означает один идеальный канал для передачи кубита от Алисы к Бобу, $[qq]$ — одну общую пару Белла. Ресурсное неравенство описывает достижимые асимптотические скорости на одно использование исходного канала или одну копию состояния, с исчезающей ошибкой. Взаимная информация $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$, $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$.