Когда вспомогательный регистр тоже принадлежит Алисе

Дано чистое состояние $|\psi\rangle_{ABR}$: Боб владеет $B$, а Алиса — $A$ и теперь также регистром $R$, который обычно считается недоступной вспомогательной системой. Покажите

$$\langle\psi_{ABR}\rangle+\tfrac12I(A;R)_\psi[q\to q]$$

$$\ge\tfrac12[H(A)_\psi+H(B)_\psi+H(R)_\psi][qq].$$

Можно использовать теорему о передаче состояния с квантовой помощью: если не действовать на $R$, то передача $\tfrac12I(A;R)$ кубитов на копию позволяет перенести $A$ к Бобу, сохранить чистое состояние на $R\widehat A B$ и дополнительно получить $\tfrac12I(A;B)$ пар Белла на копию. Чистое двустороннее состояние с энтропией одной стороны $S$ асимптотически даёт $S$ пар Белла на копию.

Обозначение $[q\to q]$ означает один идеальный канал для передачи кубита от Алисы к Бобу, $[qq]$ — одну общую пару Белла. Ресурсное неравенство описывает достижимые асимптотические скорости на одно использование исходного канала или одну копию состояния, с исчезающей ошибкой. Взаимная информация $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$, $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$.