Четыре энтропии определяют область обмена ресурсами

Пусть $U:A'\to BE$ — изометрическое расширение канала $\mathcal N$, $\mathcal N^c$ — дополнительный канал, а $\{p(x),\phi^x_{AA'}\}$ — ансамбль чистых состояний. Введём

$$\sigma_{XABE}=\sum_xp(x)|x\rangle\langle x|\otimes U\phi^x_{AA'}U^\dagger,$$

где $U$ действует только на $A'$. Для данного состояния достижимая область скоростей классической передачи $C$, квантовой передачи $Q$ и выработки запутанности $E$ задаётся

$$C+2Q\le I(AX;B)_\sigma,$$

$$Q+E\le I(A\rangle BX)_\sigma,$$

$$C+Q+E\le I(X;B)_\sigma+I(A\rangle BX)_\sigma.$$

Покажите, что для вычисления всех правых частей достаточно четырёх чисел:

$$a=H(A|X)=\sum_xp(x)H(\phi_A^x),$$

$$b=H(B)=H\!\left(\sum_xp(x)\mathcal N(\phi_{A'}^x)\right),$$

$$c=H(B|X)=\sum_xp(x)H(\mathcal N(\phi_{A'}^x)),$$

$$d=H(E|X)=\sum_xp(x)H(\mathcal N^c(\phi_{A'}^x)).$$

Здесь $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$, $H(A|B)=H(AB)-H(B)$, $I(A;B)=H(A)+H(B)-H(AB)$ и $I(A\rangle B)=-H(A|B)$.