Диагонализация входа обобщённой дефазировки

Обобщённый канал дефазировки $\mathcal N_D$ задан изометрией $U|i\rangle_A=|i\rangle_B|\phi_i\rangle_E$, где $|i\rangle$ — ортонормированный базис, а нормированные $|\phi_i\rangle$ не обязаны быть ортогональны. Основной канал получается удалением $E$, дополнительный $\mathcal N_D^c$ — удалением $B$. Полная дефазировка в базисе $|i\rangle$:

$$\overline\Delta(\rho)=\sum_i|i\rangle\langle i|\rho|i\rangle\langle i|.$$

Докажите для любого входного состояния

$$\mathcal N_D(\overline\Delta(\rho))=\overline\Delta(\mathcal N_D(\rho)),$$

$$\mathcal N_D^c(\overline\Delta(\rho))=\mathcal N_D^c(\rho).$$

Выведите

$$H(\rho)\le H(\overline\Delta(\rho)),$$

$$H(\mathcal N_D(\rho))\le H(\mathcal N_D(\overline\Delta(\rho))),$$

$$H(\mathcal N_D^c(\rho))=H(\mathcal N_D^c(\overline\Delta(\rho))).$$

Таким образом, диагонализация не меняет состояние среды и не уменьшает энтропии входа и основного выхода. Здесь $H(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)$.