Половинные оптические потери обнуляют квантовую пропускную способность

Одномодовый бозонный канал чистых потерь $\mathcal L_\eta$ пропускает к Бобу долю $\eta$ фотонов, а остальные уходят в изначально вакуумную среду. В удобной фазовой конвенции изометрия на числе фотонов имеет вид

$$U_\eta|n\rangle_A=\sum_{k=0}^nc_{nk}|k\rangle_B|n-k\rangle_E,$$

$$c_{nk}=\sqrt{\binom nk}\,\eta^{k/2}(1-\eta)^{(n-k)/2}.$$

Основной канал получается удалением $E$, дополнительный — удалением $B$. Докажите, что при $\eta=1/2$ квантовая пропускная способность равна нулю, в том числе при любом заданном ограничении средней энергии входа. Можно использовать запрет клонирования или нулевую квантовую пропускную способность антидеградируемого канала, чей выход восстанавливается из среды.