Ось гамильтониана для заданного кубита

Двухуровневая система находится в состоянии
$$|\alpha\rangle=\alpha_\uparrow|\uparrow\rangle+\alpha_\downarrow|\downarrow\rangle,$$
где заданы, вообще говоря, комплексные коэффициенты. Докажите, что можно выбрать вещественный вектор $\mathbf c$ так, чтобы это состояние было собственным для оператора $\mathbf c\cdot\boldsymbol\sigma$, где $\boldsymbol\sigma$ — вектор матриц Паули.

Найдите все такие $\mathbf c$ и второе, ортогональное $|\alpha\rangle$, собственное состояние. Объясните результат на сфере Блоха.