Прецессия в углах сферы Блоха

Спин $1/2$ имеет постоянный гамильтониан
$$H=c\,\mathbf n\cdot\boldsymbol\sigma,\qquad c>0,$$
$$\mathbf n=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta).$$
В момент $t=0$ он находится в состоянии $|\uparrow\rangle$, собственном для $\sigma_z$ со значением $+1$.

Перепишите основные результаты задач 4.27–4.29 через углы $\theta,\varphi$: эволюцию состояния, вероятности измерения $\sigma_z$, средние компоненты спина, операторы спина в представлении Гейзенберга и матрицу $\sigma_z$ в энергетическом базисе. Хотя бы один результат проверьте геометрически с помощью уравнения Блоха
$$\frac{d\langle\boldsymbol\sigma\rangle}{dt} =\frac{2c}\hbar\mathbf n\times\langle\boldsymbol\sigma\rangle.$$
Углы направления поля $\mathbf n$ не следует путать с меняющимися углами точки состояния.