Уровни в логарифмическом потенциале

Нерелятивистская частица движется в логарифмическом потенциале
$$U(r)=C\ln(r/R).$$
Здесь $r$ — модуль координаты, $R>0$ — постоянный масштаб длины. Для рассматриваемых нормируемых стационарных состояний докажите, что:

(i) $\langle p^2\rangle$ одинаково во всех стационарных состояниях;

(ii) расстояния между энергетическими уровнями не зависят от массы частицы.