Изотропная статистика квадрата момента

Предполагая, что все $2l+1$ значений $L_z=\hbar m$ при фиксированном целом $l\geq0$ равновероятны, а система изотропна, выведите средствами обычной статистики
$$\langle L^2\rangle=\hbar^2l(l+1).$$
Объясните, почему эта статистическая картина не служит доказательством операторного спектрального равенства (5.163) лекций, по которому $L^2$ имеет это значение в каждом состоянии с заданным $l$.