Проекторы стандартного базиса через матрицы Паули

В стандартном кубитном базисе

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},$$

$$Y=iXZ=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}.$$

Положим $\mathcal S=\{I,X,Z,Y\}$.

Матрицы из $\mathcal S$ ортогональны по скалярному произведению $\langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}(A^\dagger B)$: $\operatorname{Tr}(MN)=0$ при $M\ne N$, а $\operatorname{Tr}(M^2)=2$. Используя это, покажите

$$|0\rangle\langle0|=\frac12(I+Z),$$

$$|1\rangle\langle1|=\frac12(I-Z).$$