Ортогональность базиса операторов Паули

В стандартном кубитном базисе

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},$$

$$Y=iXZ=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}.$$

Положим $\mathcal S=\{I,X,Z,Y\}$.

Докажите $\operatorname{Tr}(MN)=0$ для любых различных $M,N\in\mathcal S$. Для различных матриц из $\{X,Y,Z\}$ используйте антикоммутирование $MN+NM=0$ и цикличность следа. Случаи, в которых одна матрица равна $I$, рассмотрите отдельно.