Частичный след не зависит от выбранного базиса

Для совместной матрицы плотности $\rho_{AB}$ и любого ортонормированного базиса $\{|u_x\rangle_B\}$ определим

$$K_x=I_A\otimes\langle u_x|,\qquad\rho_A=\sum_xK_x\rho_{AB}K_x^\dagger.$$

Докажите, что $\rho_A$ не зависит от этого базиса. Подсказка: если два эрмитовых оператора имеют одинаковые средние $\langle\phi|\rho|\phi\rangle$ на всех единичных векторах, то операторы равны. Используйте полноту $\sum_x|u_x\rangle\langle u_x|=I_B$.