Квантовый одноразовый блокнот стирает матрицы Паули

В стандартном кубитном базисе

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},$$

$$Y=iXZ=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}.$$

Положим $\mathcal S=\{I,X,Z,Y\}$.

Докажите для каждого $M\in\{X,Z,Y\}$

$$U_{k_1k_2}=X^{k_1}Z^{k_2},\qquad k_1,k_2\in\{0,1\},$$

$$\frac14\sum_{k_1,k_2}U_{k_1k_2}M U_{k_1k_2}^\dagger=0.$$

Это тождество используется для шифрования кубита двумя равномерными случайными ключевыми битами: все неединичные компоненты его разложения Паули исчезают после усреднения.