Строки Паули образуют базис операторов нескольких кубитов

В стандартном кубитном базисе

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},$$

$$Y=iXZ=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}.$$

Положим $\mathcal S=\{I,X,Z,Y\}$.

Для $s\in\{0,1\}^{2n}$ определим

$$P_s=\bigotimes_{j=1}^nX^{s_{2j-1}}Z^{s_{2j}}.$$

Покажите, что эти $4^n$ операторов образуют ортогональный базис всех линейных операторов на $n$ кубитах:

$$\operatorname{Tr}(P_s^\dagger P_t)=2^n\delta_{st}.$$

Выведите для любой матрицы плотности разложение

$$\rho=\frac1{2^n}\left(I^{\otimes n}+\sum_{s\ne0}v_sP_s\right),$$

и выразите $v_s$ через $\rho$. Коэффициенты здесь могут быть комплексными, поскольку базис содержит $XZ$ без дополнительного фазового множителя.