Насколько Боб может сместить квантовую монету

Алиса равномерно выбирает биты $a,x$ и посылает Бобу трёхуровневое состояние

$$|\phi_{a,x}\rangle=\frac{|0\rangle+(-1)^x|a+1\rangle}{\sqrt2}.$$

Затем Боб должен объявить бит $b$. Только после этого Алиса раскрывает $a,x$, а итог монеты определяется как $c=a\oplus b$. Рассматриваем честную Алису и произвольного нечестного Боба.

Вычислите матрицы $\rho_{B|a=0}$ и $\rho_{B|a=1}$ после первого сообщения, усреднив по равномерному $x$. Покажите, что их нормированное следовое расстояние $D(\rho_0,\rho_1)=\tfrac12\|\rho_0-\rho_1\|_1$ равно $1/2$, и выведите: Боб может навязать любой заранее выбранный итог $c$ с вероятностью не больше $3/4$.

Можно использовать границу Хелстрома для различения двух равновероятных состояний: $p_{\rm guess}=(1+D)/2$.