Обновление ключа при вычислении над зашифрованными кубитами

Используем $X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $Z=\operatorname{diag}(1,-1)$, $Y=iXZ$ и единичную матрицу $I$. Группа Паули состоит из тензорных произведений этих матриц с фазами $\pm1,\pm i$. Унитарный оператор Клиффорда при сопряжении переводит каждый оператор Паули в другой оператор Паули, с точностью до фазы.

Определим

$$H=\frac{X+Z}{\sqrt2},$$

$$T=\operatorname{diag}(1,e^{i\pi/4}),$$

$$P=T^2=\operatorname{diag}(1,i).$$

Управляемое отрицание действует как $\operatorname{CNOT}|a,b\rangle=|a,b\oplus a\rangle$; первый кубит управляющий.

Квантовый одноразовый блокнот шифрует $n$ кубитов как $\widetilde\rho=E_{a,b}\rho E_{a,b}^\dagger$, где

$$E_{a,b}=\bigotimes_{j=1}^nX^{a_j}Z^{b_j}.$$

Покажите, что применение любого одно- или двухкубитного оператора Клиффорда $U$ к $\widetilde\rho$ эквивалентно применению $U$ к незашифрованному $\rho$ с некоторым обновлением ключа $(a,b)\mapsto(a',b')$. Найдите правила обновления для $P$ и CNOT.