Усреднение Паули убирает перекрёстные ошибки

Пусть $\rho$ — матрица плотности кубита, а $P,P'\in\mathcal P=\{I,X,Y,Z\}$ — операторы Паули. Обозначим $A_Q=Q^\dagger P Q$ и $B_Q=Q^\dagger P'Q$. Докажите, что усреднение

$$\frac14\sum_{Q\in\mathcal P}A_Q\rho B_Q^\dagger$$

равно $P\rho P^\dagger$ при $P=P'$ и нулю при $P\ne P'$. Обобщите на $n$ кубитов: используйте тензорные произведения Паули и нормирующий множитель $4^{-n}$. Матрицы $X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $Z=\operatorname{diag}(1,-1)$, $Y=iXZ$.