Какие состояния определяются измерениями X и Z

Используем $X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $Z=\operatorname{diag}(1,-1)$, $Y=iXZ$ и единичную матрицу $I$. Группа Паули состоит из тензорных произведений этих матриц с фазами $\pm1,\pm i$. Унитарный оператор Клиффорда при сопряжении переводит каждый оператор Паули в другой оператор Паули, с точностью до фазы.

Определим

$$H=\frac{X+Z}{\sqrt2},$$

$$T=\operatorname{diag}(1,e^{i\pi/4}),$$

$$P=T^2=\operatorname{diag}(1,i).$$

Управляемое отрицание действует как $\operatorname{CNOT}|a,b\rangle=|a,b\oplus a\rangle$; первый кубит управляющий.

Назовём состояние определяемым по $X,Z$, если значения всех ожиданий тензорных произведений из $\{I,X,Z\}$ однозначно определяют его матрицу плотности среди всех состояний. Покажите это свойство для всех чистых однокубитных состояний в плоскости $xz$ сферы Блоха,

$$\rho=\tfrac12(I+\cos\theta X+\sin\theta Z).$$

Затем покажите его для двухкубитных состояний $|\psi\rangle=(U\otimes P)|\phi^+\rangle$, где $U$ — вещественная унитарная матрица кубита, $P\in\{I,X,Y,Z\}$, $|\phi^+\rangle=(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt2$. Приведите два разных однокубитных состояния с одинаковыми ожиданиями $X$ и $Z$.