Телепортация через преобразованную пару Белла

Используем $X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $Z=\operatorname{diag}(1,-1)$, $Y=iXZ$ и единичную матрицу $I$. Группа Паули состоит из тензорных произведений этих матриц с фазами $\pm1,\pm i$. Унитарный оператор Клиффорда при сопряжении переводит каждый оператор Паули в другой оператор Паули, с точностью до фазы.

Определим

$$H=\frac{X+Z}{\sqrt2},$$

$$T=\operatorname{diag}(1,e^{i\pi/4}),$$

$$P=T^2=\operatorname{diag}(1,i).$$

Управляемое отрицание действует как $\operatorname{CNOT}|a,b\rangle=|a,b\oplus a\rangle$; первый кубит управляющий.

Пусть $|\psi\rangle_A$ — произвольный кубит, а ресурсная пара имеет вид $|\phi\rangle_{BC}=(I\otimes UP)|\phi^+\rangle$, где $U$ — произвольный кубитный унитарный оператор, $P\in\{I,X,Y,Z\}$ и $|\phi^+\rangle=(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt2$. Кубиты $A,B$ измеряют в базисе Белла

$$|\beta_{b_1b_2}\rangle=(I\otimes X^{b_1}Z^{b_2})|\phi^+\rangle.$$

Докажите, что для результата $(b_1,b_2)$ существует Паули $Q$, зависящий только от этого результата, такой, что нормированное состояние $C$, с точностью до общей фазы, равно $(UQPU^\dagger)U|\psi\rangle$. Найдите $Q$.