Тест совпадений ограничивает долю пары EPR

Два кубита имеют произвольную матрицу плотности $\rho$. Их измеряют в одном общем равномерно выбранном базисе: стандартном или Адамара. Вероятность совпадения результатов, усреднённая по базису, равна $p$.

В базисе Белла положим $q_{uv}=\langle\Psi_{uv}|\rho|\Psi_{uv}\rangle$, где

$$|\Psi_{00}\rangle=|\Phi^+\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt2},$$

$$|\Psi_{01}\rangle=\frac{|00\rangle-|11\rangle}{\sqrt2},\qquad |\Psi_{10}\rangle=\frac{|01\rangle+|10\rangle}{\sqrt2},$$

$$|\Psi_{11}\rangle=\frac{|01\rangle-|10\rangle}{\sqrt2}.$$

В стандартном базисе вероятность совпадения равна $\operatorname{Tr}(\Pi_1\rho)$, где $\Pi_1=|\Psi_{00}\rangle\langle\Psi_{00}|+|\Psi_{01}\rangle\langle\Psi_{01}|$; в базисе Адамара используется $\Pi_2=|\Psi_{00}\rangle\langle\Psi_{00}|+|\Psi_{10}\rangle\langle\Psi_{10}|$. Проверьте $q_{00}\ge2p-1$.