Масштабы гравитационных квантовых состояний

(a) Гравитационные связанные состояния

Рассмотрим частицу на столе: только сила тяжести не даёт ей улететь. Система характеризуется тремя физическими параметрами: массой частицы $m$, ускорением свободного падения на Земле $g=9.8\,\mathrm{м/с^2}$ и постоянной Планка $\hbar=h/(2\pi)$. Энергия имеет вид $E=\frac12mv^2+mgx$.

(i) Только с помощью анализа размерностей найдите произведение степеней $m,g,\hbar$, задающее характерную энергию $E$: запишите $E\sim m^\alpha g^\beta\hbar^\gamma$ и найдите $\alpha,\beta,\gamma$. Можно ли получить характерную энергию без постоянной Планка?

(ii) Аналогично найдите характерные длину, время и скорость $(l,t,v)$ этой системы.

(iii) В классической конфигурации с наименьшей энергией $E=0$ частица должна совершенно неподвижно ($v=0$) находиться точно на поверхности ($x=0$). Кратко объясните с помощью соотношения неопределённостей $\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2$, почему частица не может иметь $E=0$, соблюдая принцип неопределённости.

Замечание источника: следовательно, у квантовой системы должна быть некоторая минимальная энергия, которую нельзя предсказать классически. Для частицы на столе это может казаться несущественным, но для классически неустойчивого атома водорода это принципиально. Далее в курсе изучается вычисление минимальной энергии — энергии основного состояния.

(iv) Используя результаты анализа размерностей, оцените энергию основного состояния. Как ведёт себя оценка при $h\to0$? Имеет ли это смысл? Объясните почему.

(v) Вычислите $E,l,t,v$ для нейтрона массой $m_N=1.7\cdot10^{-27}\,\mathrm{кг}$. На какой типичной высоте над поверхностью будет находиться частица?

В источнике приведён эксперимент V. V. Nesvizhevsky et al., «Quantum States of Neutrons in the Earth's Gravitational Field», Nature 415, 297 (2002).

(b) Планковский масштаб

Масштаб, на котором существенны одновременно гравитация (ньютоновская постоянная $G_N$), квантовая механика ($\hbar$) и относительность ($c$), называется планковским.

(i) Анализом размерностей найдите комбинацию степеней $G_N,\hbar,c$, имеющую размерность длины. Это планковская длина $L_P$.

(ii) Вычислите $L_P$ и сравните с типичным масштабом ядерной физики и физики частиц $1\,\mathrm{фм}=10^{-15}\,\mathrm м$.

(iii) Аналогично найдите и вычислите планковскую массу $M_P$, сравните её с массой типичной частицы ядра, например протона. Нужно ли понимать квантовую гравитацию для изучения ядерной физики?