Средние значения импульса в представлении Фурье

Функция $f(x)$ и её преобразование Фурье $\tilde f(k)$ связаны соглашениями

$$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\tilde f(k)\,dk,$$

$$\tilde f(k)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}f(x)\,dx.$$

По определению,

$$\langle x\rangle=\int P(x)x\,dx=\int|\psi(x)|^2x\,dx.$$

Используя определение среднего значения степени оператора импульса,

$$\langle\hat p^n\rangle=\int\psi^*(x)\hat p^n\psi(x)\,dx,$$

выражение $\hat p=-i\hbar\,\partial/\partial x$ и определение преобразования Фурье, докажите:

(a)

$$\langle\hat p\rangle=\int|\tilde\psi(k)|^2\hbar k\,dk;$$

(b)

$$\langle\hat p^2\rangle=\int|\tilde\psi(k)|^2(\hbar k)^2\,dk;$$

(c) в общем случае

$$\langle f(\hat p)\rangle=\int|\tilde\psi(k)|^2f(\hbar k)\,dk.$$

Таким образом, обсуждавшееся в курсе равенство $P(k)=|\tilde\psi(k)|^2$ следует из правила Борна $P(x)=|\psi(x)|^2$. Все интегралы без указанных пределов берутся по всей вещественной оси.