Форма волновой функции и предсказания измерений

В курсе рассматривались примеры волновых функций, эскизы их преобразований Фурье и надёжность предсказаний измерений координаты и импульса. Теперь эти рассуждения нужно сделать точными с помощью явных вычислений.

Рассмотрим ненормированные волновые функции частицы в одном измерении; $x$ — безразмерная переменная:

$$\psi_1(x)\propto\delta(x-1),\qquad \psi_2(x)\propto\delta(x-2),$$

$$\psi_3(x)\propto e^{ix},\qquad \psi_4(x)\propto e^{i2x},$$

$$\psi_5(x)\propto\delta(x-1)+\delta(x-2),$$

$$\psi_6(x)\propto e^{ix}+e^{i2x},$$

$$\psi_7(x)= \begin{cases}N,&-a/2\le x\le a/2,\\0,&\text{иначе},\end{cases}$$

$$\psi_8(x)=Ne^{-(x-x_0)^2/a^2}e^{ik_0x}.$$

Здесь $a>0$, $x_0,k_0$ — вещественные параметры. Преобразование Фурье задаётся соглашением

$$\tilde\psi(k)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\psi(x)\,dx.$$

Для каждой из восьми функций:

(a) Нарисуйте эскиз волновой функции и соответствующего распределения вероятностей. Для комплексной функции достаточно изобразить вещественную часть. Дельта-функцию и её квадрат при построении эскиза можно заменить узкой гауссовой аппроксимацией. Используйте определение из этого же листка:

$$\delta_\eta(x)=\frac1{\eta\sqrt\pi}e^{-x^2/\eta^2}, \qquad \eta\ll1.$$

(b) Вычислите преобразование Фурье $\tilde\psi(k)$.

(c) Нарисуйте эскиз $\tilde\psi(k)$ и соответствующего распределения вероятностей. Как ведёт себя $P(k)$ при больших $k$? Дайте физическую интерпретацию, в частности с точки зрения вклада больших импульсов.

(d) Где вероятнее всего обнаружить частицу? Каков наиболее вероятный импульс? Насколько надёжны эти предсказания? Достаточно оценки без вычислений.

Только для $\psi_8(x)$:

(e) Найдите нормировочную постоянную $N$ с точностью до общей фазы.

(f) Вычислите $\langle x\rangle,\langle p\rangle,\Delta x,\Delta p$. Выполняется ли соотношение неопределённостей и насколько близко к равенству? Что это говорит о функциях такой формы?

(g) Как изменяются форма волновой функции и $\tilde\psi(k)$ при $a\to0$ и при $a\to\infty$? Как ведут себя $\Delta x$ и $\Delta p$? Объясните, имеет ли результат физический смысл.